giovedì 25 ottobre 2007

Rapporti tra matematica ed altre forme del sapere umano - Ennio De Giorgi

Undici anni fa moriva Ennio De Giorgi, uno dei migliori matematici italiani. Il mio prof di termodinamica mi diceva proprio stamani che De Giorgi riusciva a vedere sino a 13 dimensioni nello spazio, il suo lavoro sulle derivate parziali è stato fondamentale per la matematica moderna.


La collaborazione con Nash, lo portò a formulare il teorema di Nash - De Giorgi, teorema che si riferisce alla regolarità di un certo tipo di funzionali. Sviluppò anche il calcolo delle variazioni, che gli potè valere un posto sulla enciclopedia Treccani del Novecento, cui ha scritto la voce insieme a Giuseppe Buttazzo (attuale professore di Analisi Matematica ad ingegneria meccanica di Pisa)

Oltre la matematica De Giorgi era un uomo profondamente religioso a cui unì la sua grande umanità sostenendo Amnesty International.

"U n discorso sulla matematica rivolto a persone di varia formazione e vari interessi culturali rischia, nello stesso tempo, di apparire superficiale o inesatto ai matematici e di risultare oscuro e poco comprensibile agli ascoltatori più lontani da questa scienza da molti ritenuta inaccessibile ai non specialisti. Se poi il discorso riguarda le relazioni tra matematica e altri rami del sapere vi è il rischio che ogni ascoltatore trovi cuori ed omissioni sui temi che conosce più da vicino. Mi rendo conto di questi pericoli aggravati dal fatto che conosco solo una piccola parte della matematica contemporanea ed ho informazioni ancora più scarse su altre discipline, ma credo che convenga correre qualche rischio, attenuato spero dall'indulgenza dei presenti, se ciò può contribuire a raggiungere gli scopi fondamentali di un'accademia che riunisce studiosi di diverse discipline e diversi paesi per promuovere attraverso una maggiore comprensione reciproca il progresso di tutte le scienze per il bene comune dell'umanità. Penso che tutti condividano queste aspirazioni e, più in generale, tutti gli ideali che gli antichi riassumevano nella parola filosofia, cioè "amore della sapienza". Questo mi incoraggia a parlare degli aspetti della matematica che mi sembrano più interessanti, in una prospettiva che considera tutte le scienze e le arti rami dell'unico albero della sapienza, che dal tronco comune traggono forza e bellezza. So bene che in questa prospettiva il mio discorso sarà molto incompleto, potrò solo accennare a qualcuna delle scienze e delle arti che nel corso dei secoli hanno influenzato lo sviluppo della matematica e sono state più influenzate da questa disciplina (per esempio fisica, ingegneria, economia, architettura, pittura, musica, filosofia). Mi limiterò perciò a qualche considerazione puramente qualitativa, che può servire a una riflessione sulla natura di queste influenze e comincerò con un esempio concreto, esponendo un problema abbastanza semplice (che in sostanza è stato risolto da Talete più di duemila anni fa). Pensiamo di avere un grande piazzale in cui è innalzata un'asta molto alta e vi i è pure un paletto verticale poco più alto di un metro e pensiamo di dover misurare con un normale metro da sarto l'altezza dell'asta. Una persona del tutto digiuna di matematica pensa che sia necessario arrampicarsi fino alla cima dell'asta; in realtà volendo trovare 1'altezza dell'asta senza salire così in alto basta misurare l'altezza del paletto, la lunghezza dell'ombra del paletto in una data ora del giorno e la lunghezza dell'ombra dell'asta alla stessa ora. E' chiaro che il rapporto tra l'altezza dell'asta e quella del paletto sarà uguale al rapporto tra le lunghezze delle due ombre. Per esempio, se il paletto era alto un metro e mezzo e la sua ombra era lunga ottanta centimetri, mentre 1'ombra dell'asta era lunga otto metri, 1'asta sarà alta quindici metri. Questo problema molto semplice rappresenta un caso particolare di un'ampia classe di problemi che potremmo riassumere con le parole seguenti: trovare l'altezza o la distanza di oggetti inaccessibili o difficilmente accessibili mediante misure eseguite su oggetti facilmente accessibili. Il desiderio di risolvere questi problemi ha fortemente contribuito allo sviluppo della geometria e della trigonometria e allo sviluppo parallelo degli strumenti ottici, che hanno reso possibile la risoluzione di problemi assai più difficili come il calcolo della distanza tra la Terra e i diversi pianeti. L'esempio ora citato consente già alcune riflessioni qualitative sulle relazioni tra matematica e fisica o ingegneria. Vediamo che da una parte i problemi della fisica e dell'ingegneria costituiscono spesso il punto di partenza per la riflessione matematica, dall'altra la matematica, pur non essendo in grado di darci da sola informazioni sulla realtà fisica in assenza di ogni dato sperimentale, consente di trarre conseguenze assai ampie da un complesso di dati apparentemente povero. Inoltre la proposta di un modello matematico di determinati fenomeni fisici può essere il punto di partenza per la stessa programmazione di nuovi esperimenti e la costruzione degli strumenti di osservazione. Questi fatti sono abbastanza ovvi per chiunque si occupi di matematica, fisica o ingegneria, forse lo sono meno per il pubblico e i mezzi d'informazione, portati a mettere in evidenza più 1'imponenza delle attrezzature e dei macchinari che non l'intelligenza necessaria, direttamente o indirettamente, per progettarli e per farne un buon uso. Per esempio nelle informazioni meteorologiche è spesso ricordato il computer di cui ci si serve, ma raramente viene fornita al pubblico qualche notizia sugli studi finora compiuti e sui problemi che ancora debbono essere affrontati per trovare dei buoni modelli matematici dell'atmosfera terrestre. Penso che un'informazione scientifica diretta a suscitare negli ascoltatori una coscienza più chiara delle radici ideali del progresso tecnico e scientifico potrebbe favorire la crescita di una cultura adeguata ai problemi del nostro tempo, capace di dominare realmente il mondo delle macchine, evitando atteggiamenti di cieca fiducia o di indiscriminato rifiuto. Cercando queste radici dobbiamo sottolineare con uguale attenzione le relazioni esistenti tra matematica, tecnica, economia, scienze sperimentali e l'autonomia della matematica che procede molto oltre i problemi suggeriti da queste discipline. Per esempio lo studio dell'aritmetica è stato inizialmente stimolato dalle necessità del commercio e, anche più tardi, la diffusione in Italia della matematica araba avvenne grazie ai rapporti commerciali che esistevano fra le due rive del Mediterraneo. Tuttavia, già in epoca antica furono scoperti e giudicati molti importanti teoremi di cui era difficile immaginare qualsiasi applicazione pratica, per esempio il teorema che afferma l'esistenza di infiniti numeri primi (ricordiamo che un numero primo è caratterizzato dalla proprietà seguente: è impossibile ottenerlo come prodotto di due numeri interi positivi più piccoli di lui, per esempio 7 è un numero primo, mentre non sono primi 8 che può essere ottenuto come prodotto di 2 per 4, oppure 9 che può essere ottenuto come prodotto di 3 per 3). Passando dall'aritmetica alla geometria, si può citare un altro teorema celebre nel mondo greco e ricordato anche in un dialogo di Platone (il Menone), cioè il teorema che afferma l'incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato (ricordiamo che due segmenti sono incommensurabili se non esiste alcun multiplo intero dell'uno che sia esattamente uguale a un multiplo intero dell'altro). Direi che lo sviluppo della matematica è stato sempre caratterizzato dall'intreccio di due fattori, il desiderio di meglio comprendere e dominare la realtà visibile e il desiderio di esplorare la realtà invisibile, spingersi verso il mondo misterioso dell' infinitamente piccolo e dell' infinitamente grande. Bisogna aggiungere che molte ricerche iniziate per puro desiderio di "esplorazione matematica" hanno poi trovato applicazioni del tutto inattese. Per esempio quando i greci iniziarono lo studio delle sezioni coniche (ellisse, iperbole, parabola) erano perfettamente convinti che il moto naturale dei corpi celesti fosse un moto circolare (o una combinazione di moti circolari) e questa convinzione fu condivisa anche dai primi sostenitori del sistema copernicano. Fu un'idea geniale di Keplero immaginare che la traiettoria di un pianeta potesse essere un'ellisse di cui il Sole occupa uno dei fuochi. L'esempio di Keplero può aiutarci a capire sia 1'autonomia della matematica rispetto alle scienze sperimentali, sia l'importanza del giudizio autonomo dello studioso di scienze sperimentali sui modelli matematici dominanti nel campo dei suoi studi. Quando il fisico, l'astronomo, 1'economista, l'ingegnere, si accorgono che le previsioni teoriche ottenute seguendo i modelli matematici più accreditati non sono confermate dall'esperienza, non debbono rassegnarsi a una presunta impossibilità di mettere d'accordo la teoria e la pratica, ma debbono cercare nuovi e migliori modelli matematici. In questa ricerca constateranno che, per quanto ampia sia la letteratura matematica, è difficile trovare modelli perfettamente adatti ad ogni esigenza ed è spesso necessario introdurre delle varianti in qualche nota struttura matematica per adattarla ai problemi che si vogliono risolvere. Riuscirà a trovare il modello migliore lo studioso che non solo ha l'intuito e 1'immaginazione necessari per interpretare i dati sperimentali, ma conosce almeno un po', la logica interna della matematica, trova questa scienza interessante per se stessa anche al di fuori delle sue possibili applicazioni e non la considera una semplice collezione di formule pronte per l'uso. D'altra parte anche il matematico potrà trarre scarsa ispirazione dai problemi delle scienze sperimentali e della tecnica se non ha un certo interesse per questi rami del sapere, indipendente dai suggerimenti che la matematica può trarne. Avendo ricordato alcuni risultati della matematica antica, non vorrei dare l'impressione che la matematica sia una scienza relativamente statica in cui tutti i maggiori problemi sono stati risolti. In realtà la matematica è una scienza in continuo sviluppo, in cui i problemi ancora aperti sono sempre più numerosi dei problemi risolti e il buon matematico, pur ammirando i grandi matematici dei secoli passati e riconoscendo che le loro idee sono sempre valide e stimolanti, è attento ai nuovi problemi, disposto a percorrere vie nuove e originali. Volendo dare un solo esempio delle maggiori scoperte matematiche di questo secolo (a mio avviso non abbastanza note al grande pubblico), ricorderò le teorie degli spazi a infinite dimensioni che hanno attualmente un'importanza fondamentale per tutta 1'analisi matematica e la fisica teorica. Possiamo dire che tutta la storia della matematica, in particolare quella più recente, è una conferma della celebre massima di Shakespeare, "vi sono più cose in cielo e in terra di quante se ne sognano nella vostra filosofia" e invitare i giovani più ricchi d'immaginazione ad avviarsi alla ricerca matematica consapevoli che vi sono ancora molte "parole" da trovare per meglio descrivere e meglio comprendere le realtà visibili e invisibili in cui siamo immersi. Vorrei pure che questo invito fosse in qualche modo tenuto presente, oltre che dagli scienziati, anche dai responsabili della politica, dell'economia e dell'informazione, per evitare che i giovani abbiano l'impressione che il lavoro del matematico sia un lavoro sostanzialmente ripetitivo, povero di significato culturale, di speranze, di avvenire. Accanto alle relazioni tra la matematica e le altre scienze, si dovrebbero considerare quelle egualmente importanti tra la matematica e le arti, cominciando dall'idea pitagorica dell'armonia delle sfere celesti, dai primi studi sugli accordi musicali, ricordare 1'importanza che nella scultura greca avevano le giuste proporzioni tra le diverse parti del corpo umano e nell'architettura greca le giuste proporzioni tra le diverse parti di un edificio, 1'attenzione con cui la Bibbia parla delle misure del Tempio progettato dal re Salomone, figura emblematica della sapienza ebraica. Mi dispiace di non avere la competenza necessaria per parlare del collegamento tra arti e matematica nel corso della storia umana, ma penso che la coscienza di questo collegamento sia importante per chi voglia ricuperare, nelle forme più adatte ai nostri tempi, 1'antica idea di sapienza che racchiudeva in sé scienze ed arti, giustizia e. misericordia. Avendo parlato della filosofia nel senso etimologico di "'amore della sapienza" non posso trascurare i significati più specifici che tale termine ha assunto, per esempio, nei nomi di varie materie d'insegnamento previste dai nostri ordinamenti universitari. Anche usando la parola filosofia nei suoi significati più specifici, troviamo che essa ha molte relazioni con la matematica. Ho già ricordato Pitagora e Platone, potrei ricordare i nomi di tutti i maggiori filosofi dall'antichità ai giorni nostri. Qui vorrei solo indicare alcuni problemi che la matematica può suggerire al filosofo, per questo comincerò col segnalare le parole di uno dei maggiori matematici di questo secolo, G.H. Hardy, il quale ne1 suo libro "Apologia di un matematico" affermava che una definizione soddisfacente della "realtà matematica" risolverebbe buona parte dei problemi della metafisica. Mi auguro che la riflessione sulla realtà matematica venga ripresa dai filosofi più coraggiosi e creativi, che pur apprezzando la storia della filosofia non hanno perso il desiderio di "fare della nuova filosofia". Penso che per essi potrà essere assai stimolante riflettere sui caratteri singolari della scienza matematica, per esempio 1'intreccio tra amore per la tradizione e spirito innovativo, sul fatto che nel corso della storia fisica e astronomia hanno spesso cambiato i propri modelli matematici del mondo fisico, ma tutti questi cambiamenti hanno lasciata immutata la condizione che il mondo fisico possa essere compreso e in parte dominato solo mediante la matematica. Un altro fatto su cui mi sembra convenga riflettere è 1'importanza che ha per il fisico e per l'ingegnere il calcolo infinitesimale, cioè un ramo della matematica le cui basi teoriche sembrano più lontane dalla nostra concreta esperienza della realtà visibile. Forse sarà perfino possibile che qualcuno dica una parola nuova sull'antica disputa tra realisti e nominalisti, tra chi, come Hardy e la maggior parte dei "matematici creativi", ritiene che esista una "realtà matematica", anche se non è soddisfatto di ciò che su questa realtà hanno detto i filosofi antichi e moderni, e chi pensa che tutta la matematico sia solo un sistema un po' complicato di convenzioni linguistiche. Si potrebbe pure riflettere sugli aspetti storici e metastorici delle teorie matematiche sul fatto che esse conservino tutto il loro valore anche per chi ha dimenticato 1'ambiente e il momento storico in cui sono state proposte, che teoremi nuovi e belli possono essere dedotti da vecchi assiomi formulati molti secoli prima. Da questo punto di vista potremmo dire che le buone teorie matematiche sono come i buoni vini, che migliorano invecchiando. Avendo parlato di assiomi debbo accennare ai "sistemi assiomatici" che rappresentano la forma canonica in cui vengono formulate le teorie matematiche. Senza addentrarmi in una esposizione della logica matematica (che altri potrebbero fare meglio di me), ricorderò che in un sistema assiomatico vi è un elenco di nomi che designano i "concetti primitivi" (per esempio numero, punto, retta, piano) e un certo numero di proposizioni non dimostrate che sono appunto gli assiomi del sistema. Partendo da questa base si possono introdurre nuovi concetti derivabili dai primi mediante opportune "definizioni" e dimostrare alcune conseguenze interessanti degli assiomi dette "teoremi". Ho già notato che alcuni importanti teoremi possono essere dimostrati molti secoli dopo la formulazione degli assiomi da cui discendono e posso aggiungere che le conseguenze dei sistemi di assiomi più importanti della matematica sono inesauribili. L'idea di formulare anche le teorie filosofiche come sistemi assiomatici ha precedenti illustri (basta pensare a Spinoza) e forse potrebbe essere ripresa da qualche filosofo. Io mi limiterò a segnalare alcuni vantaggi dei sistemi assiomatici usati in matematica. Il primo è la possibilità di una comunicazione chiara e senza equivoci tra persone che vivono e operano in paesi lontani e in ambienti culturali molto diversi, il secondo vantaggio è la possibilità di giudicare obiettivamente un'affermazione o un gruppo di affermazioni senza essere influenzati da pregiudizi (favorevoli o sfavorevoli) riguardanti gli autori. In matematica non è necessario accettare o respingere in blocco 1'opera di un dato autore, si possono trovare errori nelle opere di grandi matematici e può accadere che un bellissimo teorema sia dimostrato da un autore prima sconosciuto. E' più difficile che nelle opere di un buon matematico si trovino affermazioni complicate, oscure, poco interessanti per cui non vale la pena di stabilire se sono vere o false; generalmente questo tipo di affermazioni si trova nelle opere degli autori mediocri. Infine noterò che un giudizio serio ed obbiettivo su un sistema di assiomi deve tener conto anche dei teoremi che dal sistema sono stati dedotti e quindi potrà essere sempre meglio approfondito quando aumenta il numero di tali teoremi: anche in matematica vale il principio per cui l'albero si giudica dai suoi frutti. Anche chi non crede nella possibilità di trasferire integralmente il metodo assiomatico dalla matematica alle scienze umane può tentare di scrivere qualcosa che assomigli ad un sistema assiomatico e ne abbia almeno in parte i vantaggi. Volendo dare 1'esempio di un tentativo, a mio avviso ben riuscito, di esposizione di tipo assiomatico, ricorderò la Dichiarazione Universale dei Diritti Umani del 10 dicembre 1948, il cui testo mi sembra molto chiaro, pienamente comprensibile anche da parte di persone che hanno una cultura molto limitata in campo storico, giuridico, politico. Penso che questa dichiarazione può essere un punto di riferimento per chi vuole impegnarsi nella difesa delle persone, famiglie, popoli perseguitati e oppressi, rifugge dalla faziosità, dall'arroganza, dalla violenza (anche solo verbale ), preferisce la solidarietà con gli umili all'ira contro i potenti, cerca di sostenere coerentemente e imparzialmente le ragioni della giustizia e dell'umanità anche nei confronti di autorità che rispetta, di stati e governi che considera amici. A questo proposito vorrei notare che con una spesa assai modesta si potrebbe distribuire in tutte le scuole il semplice testo della Dichiarazione (senza aggiunte di note e commenti), lasciando che insegnanti, studenti, famiglie riflettano insieme su uno scritto che non è una raccolta di slogans, non sollecita adesioni passive, rassomiglia piuttosto a una serie di assiomi, ciascuno dei quali richiede un'attenta valutazione e un libero assenso (o dissenso). Leggendo con attenzione la Dichiarazione, anche chi non è esperto in campo storico, politico, giuridico si sente interrogato sul significato che hanno per lui parole come diritti, doveri, libertà, giustizia, pace, ordine, sicurezza, individuo, persona, famiglia, gruppi etnici, religiosi, professionali, comunità, popoli, nazioni, città, stati, democrazia. Per concludere i1 discorso sulla matematica, la sapienza, i sistemi assiomatici, dopo aver parlato di un testo moderno come la Dichiarazione Universale dei Diritti Umani, ricorderò un libro scritto molti secoli fa, che contiene molti "assiomi" riguardanti la sapienza su cui penso che possa ancora riflettere un uomo del nostro tempo, cioè il Libro dei Proverbi. Ne citerò qualche breve passo, tratto dall'antica traduzione italiana della Bibbia di Antonio Martini. Il giusto ha a cuore la causa dei poveri; 1'empio non se ne informa (PV.XXXIX, 7). Chi corregge un uomo, sarà alla fine più accetto a lui, che quegli il quale con lingua lusinghiera lo inganna (PV. XXVIII, 25). Hai tu veduto un uomo che si crede sapiente? Più di lui può avere speranza chi non sa nulla (PV.XXVI, 12). Non grida ella forse la sapienza ... migliore dell'oro e delle pietre preziose è il mio frutto, e dell'argento più fino ... il Signore mi ebbe con seco nel cominciamento delle sue opere, da principio, prima che alcuna cosa creasse ... quando Egli dava ordine ai cieli, io ero presente: quando con certa legge nei loro confini divideva gli abissi (PV. VIII, 1, 19, 22, 27). La sapienza si è fabbricata una casa, ella ha lavorato sette colonne ... ha mandato le sue ancelle ad invitare la gente ... venite, mangiate il mio pane, bevete il mio vino (PV. IX, 1, 3, 5)."

49 commenti:

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